Magyarázatképpen a skalárszoratos dologhoz, ha mondjuk a szóban forgó vektor X := (X₀, X₁), és az egyes komponensek X₀ = sqrt{c²+f²} és X₁ = f, ahol c konstans, f tetszőleges kifejezés, akkor a fent emlegetett skaláris szorzat:

ami tényleg konstans, másfelől nyilván lehet olyan f függvényt választani, hogy ennek a skalárszorzatnak a deriváltja mondjuk az X₁ vektorkomponens szerint mégse legyen nulla...

c(dc/dx) integrálja nem d(c^2)/dx hanem d(c^2/2)/dx ! egyes! Tovább nem is olvasom mert holnap nyelvvizsgázom

Jaja, de ha c konstans, akkor kivihető az integrál elé, vagyis c(df/dx) = d(cf)/dx. Ha ezt f = c'' esetére alkalmazod...

Vazz, elizéltem a wikiformázást... Ja, és nem az "integrál elé", hanem a "derivál elé". Késő van...

de ahogy te is mondtad akkor meg c konstans és akkor a dc/dx = 0.

Ezek az elmfizesek nagyon hülyék

OK, akkor felteszem konkrétabban a kérdést.

Ugye szabad tömegpont relativisztikus Lagrange-függvénye L = mc²dτ (ha sajátidővel írom fel), illetve L = mcds, ha az invariáns úthossz-négyzet gyökével (az előjelet most elhagytam). Namármost a négyessebesség négyzete a fénysebesség: uⁱu_i = c², vagyis a Lagrange-függvényt átírhatom L = muⁱu_idτ, illetve L = mSQRT{uⁱu_i}ds alakba. Ha most felhasználom, hogy definíció szerint ds = cdτ, akkor a második alakból L = mSQRT{uⁱu_i}cdτ következik (ez amúgy a sajátidős verzióból is egyből jön, ha az ott szereplő c²-et átírom cc-re, és csak az egyik c-t fejezem ki a négyessebességgel). Ha ezek után deriválást hajtok végre uⁱ szerint, akkor az első alakból az jön ki, hogy (dL/duⁱ) = 2mu_i, a másodikból pedig az, hogy mu_i.

Az egész azért érdekel, mert ugye klasszikusan így definiáljuk az impulzust, és szeretném látni, hogy ha relativisztikusan ugyanezt végigcsinálom, akkor hogyan jön ki a négyesimpulzus? Na most azt látom, hogy ha az L = mcSQRT{uⁱu_i}dτ alakot írom, akkor abból valóban a p_i = mu_i alak jön ki, de ha a L = muⁱu_idτ alakból indulok, akkor a hibás p_i = 2mu_i eredményre jutok.

Igazából csak meg akarom érteni, hogy miért nem írhatom fel a Lagrange-függvényt L = muⁱu_idτ alakban, ha egyszer SQRT{uⁱu_i} = c?...

Ja, és mielőtt bárki kötözködne, hogy a kutya biztos ott van elásva, hogy a skalárszorzatban ko- és kontravariáns komponensek szerepelnek, miközben én csak a kontravariáns komponensek szerint deriválok, hát itt a két deriválás, részletesen:

és

Az elsőnél azt használtam ki, hogy a metrikus tenzor (g^ik) négyzete az egység, vagyis bárhova beszúrhatom, illetve mivel maga a metrikus tenzor konstans, ezért bármikor kivihetem a deriválásból. A másodiknál pedig a deriválás láncszabályát, illetve a láncszabály után egyszerűen behelyettesítettem az első sorból a végeredményt.

Ha még azt is felhasználom, hogy uⁱu_i = c² (illetve ennek az egyenlőségnek a gyökét is), akkor

és

Szóval látszik, hogy nem ko- és kontravariáns számolás okozza a problémát, valami mástól paradox ez az egész. Csak nem látom még mindig, hogy hol rontom el... (Miközben nyilvánvaló, hogy a végeredmény baromság, nyilván nem lehet igaz, tehát szükségszerűen valahol elrontom, csak nem látom, hogy hol...)

Mennyivel szebb lenne az élet, ha az ApocalypseWiki támogatná a képletek szerkesztését, de legalábbis a törtvonalat és a gyököt... :-)

Wazz, a második sorban már megint elszámoltam a dőlt betűket... Szóval a végén levő két vessző itt sem deriválást jelent, mint a másik wiki-elk*rt posztomban, hanem csak egy bentragadt formázási parancsot... GRRRR... :-(

Közeleg a megvilágosodás.

Ismét a gimisek számára is érthető nyelvezet jön: Ugyebár derékszögű koordináta-rendszerben (ahol e_x és e_y az x és y irányú egységvektorok) tetszőleges vektor kifejezhető r = xe_x + ye_y alakban. Ekkor a vektor hossza: |r| = √{x² + y²}, illetve hossz-négyzete: r² = x² + y². Ezek szerint a hossznak a deriváltja mondjuk az x koordináta szerint

a hossz négyzetének a deriváltja (szintén x szerint) pedig

Namármost: mi van akkor, ha történetesen r egy egységvektor? Ekkor nyilván |r| = r² = 1, vagyis megintcsak sikerült egy olyan esetet találnom, amikor egy konstans deriváltja különböző értékeket ad.

Na és most jön a megfejtés: azért voltam ellentmondásban, mert maga az r helyvektor így, ahogy felírtam, nem konstans. Ez az egész, amit eddig csináltam szinte majdnem olyan, mint ha vettem volna bármilyen két függvényt, ezeket lederiválom, majd csodálkozva megállapítom, hogy egy olyan pontban, ahol a két függvény értéke megegyezik, a deriváltjai mégis eltérnek. Na bumm...

Szóval lényeg az, hogy semmi ellentmondás nincs, mert attól még, hogy az |r|(x) és az r²(x) függvények egy adott pontban megegyeznek, attól még a deriváltjaik lehetnek eltérőek.

Az eredeti (a tételhez kapcsolódó) problémám persze még mindig nincs ezzel megoldva, de most már legalább értem, hogy merre kell tovább keresnem a megoldást: rá kell jönnöm, hogy egy bizonyos fizikai definícióban (nevezzük Lagrange függvénynek) miért egy bizonyos vektor (konkrétan a sebességvektor) hossza szerepel, és miért nem a hosszának a négyzete? Vagyis nem a deriválást nem értem, hanem, hogy miért egy bizonyos függvényt deriválunk, és miért nem egy másikat?

Na, innen már nem középiskolás fokon...

Szóval ez azért gáz (Descant, asszem itt már csak rád számíthatok), mert klasszikusan a Lagrange-ban v² szerepel. Viszont az egyik előző postból nyilvánvaló, hogy a relativisztikus Lagrange-ban nem szerepelhet uⁱu_i, mert akkor a szokásos kanonikus definícióval a négyesimpulzusra 2mu_i adódna, vagyis relativisztikusan uⁱu_i gyöke kell, hogy szerepeljen (vagy lehetne a tömeg helyett a tömeg felét beírni, mint klasszikusan, de abból meg E = mc²/2 jönne ki E = mc² helyett).

Van erre valami épkézláb fizikai magyarázat, hogy itt miért a négyessebesség hossza kell a hossz-négyzet helyett, vagy törődjek bele, hogy azért így van definiálva, hogy kijöjjenek klasszikus limeszben a jól megszokott képletek, és kész? Mondjuk biztos vagyok benne, hogy valahogy csak meg lehet magyarázni annélkül is, hogy a klasszikus limeszbeli érvényességre kelljen alapozni a dolgot, de változatlanul nem bírok rájönni.

Hű, na erre (mármint az utolsó komment utolsó bekezdésére) azóta sem sikerült rájönnöm. Igaz, nem is gondolkodtam nagyon azóta a problémán...