SAdam Blog

2008-03-15

Csinálod. Megszülöd. Létrehozod. Kitalálod. Rájösz. Felépíted. Ésatöbbi... Ésatöbbi...
Hiába. Azt hiszed, hogy értelme és célja van. És csinálod. Vagy éppen nem csinálod. Mert azt hiszed, hogy értelme és célja van. Hiába...

A nyugati ember a világba menekül. A keleti ember magába menekül. Mindegyik az utat keresi. Vagy maga sem tudja, mit. De jól hangzik...
Van, aki elvágyódik. Régi korokba vagy távoli jövőbe, új vagy régi szerelembe, egy egzotikus országba, az utca másik oldalára, a gondolat világába, borba és mámorba, ál–életbe és ál–halálba, bárhova, ahol éppen nincs ott, ami nem ő, ami más, vagy ő volt, de már nem is, vagy még nem az, de szeretné. Hiába...
Van, aki csak egyszerűen fejével megy a falnak, hogy levetkőzze önmagát. És olyan is akad, aki inkább munkába menekül, a világi gondokba, vagy éppen ő a Messiás, és küldetése van itt köztünk.
Az ember mindig menekül. Ha azt állítja, meditál: belülre menekül. Ha azt hazudja, gondolkodik: csak elfut magától, semmi több.

Egy baj van ezzel:

Lehetsz akár a Galaxis túlvégén, minden bölcsesség birtokában, száz szerelmen túl, mámorosan, tökéletességben: MAGAD ELŐL NEM MENEKÜLSZ!
Tanuld meg: bárkit legyőzhetsz ebben az életben, akit csak akarsz. Puszta kitartás kérdése az egész. Ezalól csak egyetlen kivétel van: ez TE vagy.

Tagek:
 
Utoljára módosította SAdam 2008.III.15 00:21-n; 3 hozzászólás;
PermaLink

(Már megint) nem értem a kvantummechanikát...

A probléma megint ott kezdődött, ahol eddig szokott volt: a felcserélési relációkkal. A kvantummechanika (továbbiakban QM) szerint, ha X és P két kanonikusan konjugált operátor (mondjuk hely és azonos irányba mutató impulzus), akkor [X, P] != 0, vagyis XP != PX (itt a "!=" azt jelenti, hogy "nem egyenlő", sajnos a megfelelő UTF–8 karakter helyett valami kérdőjel jelenik meg). Kicsit jobban végiggondolva a dolgot, az egésznek igazából csak úgy van (fizikai) értelme, ha ezt [X, P]|a> != 0 alakban írjuk fel (további magyarázat: vastag betűvel az operátorokat, a |> szimbólum közé írt dőlt betűvel a |vektorokat>, míg dőlt betűvel a skalárokat jelölöm). Na és ez az, amivel rendszeresen problémám szokott (volt) lenni, pontosabban azzal, hogy az XP, illetve PX kifejezések alatt pontosan mit is kell (fizikailag) érteni. Egész mostanáig, ugyanis azt hiszem, megfejtettem a problémát, és ezt a megoldást fel is vésem ide, hogy ha megint elfelejteném, akkor itt legyen kiindulópontnak.

Először is, tisztázzuk a fogalmakat! A QM öt axiómára épül, ezek közül most az első három lesz fontos:

  1. A fizikai állapotokat egy Hilbert–tér (jelöljük mondjuk H-val) vektorai írják le.
  2. A fizikai mennyiségeket olyan önadjungált operátorok reprezentálják, amelyek a fenti Hilbert–tér elemein hatnak (vagyis olyan önadjungált lineáris leképezések, amelyek az L(H,H) tér elemei).
  3. Egy |a> állapotban levő rendszeren végzett mérés során, amelyben az O mennyiséget mérjük, a lehetséges mért értékek az O operátor sajátértékei, emellett a mért értékek középértéke nem más, mint az O várható értéke az |a> állapotban. Ezt a mennyiséget az <O> = <a|O|a> kifejezés határozza meg, ahol <a| nem más, mint az |a> vektorhoz tartozó "duális vektor" (lásd alább).

Ezek a megfogalmazások kicsit elnagyoltak, pl. nem részleteztem, hogy melyik sajátérték mekkora valószínűséggel jön ki, de ez itt most tényleg nem lesz fontos. Az eddigiek nem okozhatnak problémát senkinek, aki volt életében legalább három (egyetemi) matekórán, bár mondjuk a Berzsenyiben ezek a fogalmak szerepeltek a 10.-es tananyagban, tehát elvileg eddig a pontig annak is értenie kell mindent (legalábbis a matematikai részt), aki emelt szinten tanult matekot a gimiben. Egyedül talán a Hilbert–tér és a duális vektor szorul magyarázatra. A Hilbert–tér nem más gyakorlatilag, mint egy olyan (végtelen dimenziós) vektortér, amiben értelmezett a skaláris szorzat, és ami teljes (erre a szorzatra nézve). Ez gyakorlatilag valami olyasmit jelent, hogy nem lehet elképzelni benne olyan elemet, ami benne lehetne a térben, de mégsincs. (Pl. a racionális számok halmaza nem teljes, mert vannak nem racionális számok is. A valós számok halmaza viszont már teljes). Persze a teljesség nem ilyen egyszerű, de erről itt elég ennyi. A duális vektor megértéséhez először beszélni kell a duális térről magáról. Ha V egy lineáris tér (más néven vektortér), akkor vehetjük az összes olyan leképezést (függvényt, ha úgy tetszik), ami a vektorokhoz számokat rendel. Ezek a leképezések maguk is egy vektorteret alkotnak, aminek a jele L(V,R), vagy L(V,C) (attól függően, hogy a leképezések a vektorokat a valós számok R halmazára, vagy a komplex számok C halmazára vetítik), és ezt a teret a V vektortér "duális terének" hívják. Az egyszerűség kedvéért V*-gal is jelölik. Nos, a duális vektorok nem mások, mint ennek a duális térnek az elemei, vagyis tulajdonképpen ezek olyan függvények, amik az eredeti tér vektoraihoz számokat rendelnek. Bebizonyítható, hogy a V tér és a V* tér elemei között lehet oda–vissza egyértelmű hozzárendelést létrehozni. Azt a duális vektort, amit ez a hozzárendelés biztosít a V tér egy |a> eleme számára, az |a> vektor duális vektorának hívjuk, és <a|-val, vagy |a>*–gal jelöljük. Még egyszer kihangsúlyozom, hogy ha "el akarjuk képzelni" gimis fejjel a duális teret, akkor azt kell megjegyezni, hogy a duális vektorok tulajdonképpen függvények... Még egy apróság: habár az első axióma kimondja, hogy az állapotokat az állapotvektorok írják le, igazából célszerűbb az ezekből definiálható sűrűségoperátorral jellemezni a fizikai állapotot. Itt most nem megyek bele, hogy ez mit is jelent, mert a továbbiakat az állapotvektorral is nagyon jól le tudom írni, de azért nem árt megjegyezni, hogy egy csomó könyv máshogy definiálja az első axiómát, mint ahogy én azt fent tettem (főleg a matematikai fizikával foglalkozó könyvek, ha jól tudom).

Most, hogy tisztáztam a fogalmakat, újrafogalmazom az eredeti problémámat: a felcserélési relációk valami olyasmit mondanak ki, hogy XP|a> != PX|a>. Mit is akar ez jelenteni? Az előbb láttuk, hogy az "operátorszor állapotvektor" jellegű dolgok a méréseknél jönnek be a képbe, és az a lényegük, hogy a mérés során egy ilyen kifejezés sajátvektorait és sajátértékeit kapjuk. Na de mit jelent az, amikor két operátor szorzatát veszem, és azzal mérek? Mit kell fizikailag érteni az XP, illetve a PX mennyiségek alatt? Na innentől jön a csel... :-)

Először is: mit is mond ki pontosan az a második axióma? A fizikai mennyiségeket önadjungált operátorok reprezentálják! Azonban (XP)* = P*X* = PX (az utolsó lépés azért következik, mert X és P önadjungált, vagyis definíció szerint X* = X és P* = P). Mit mutat tehát a felcserélési reláció? Azt, hogy XP nem önadjungált, hiszen XP-PX = XP-(XP)* (amint az előbb láttuk), és mivel a felcserélési reláció szerint XPPX != 0, így tehát XP – (XP)* != 0, vagyis XP != (XP)*. Ez (szavakba öntve) azt jelenti, hogy XP nem fizikai mennyiség! Így tehát nincs értelme semmiféle mérésről beszélni, sem semmiről, mert ez a valami ez nem egy létező mennyiség, így nem is mérhető!

Na de persze itt nem állunk meg. Az igazi probléma még csak itt kezdődik. A kérdés az, hogy akkor mi a fenének beszélünk egyáltalán erről az egészről? Vagyis: hogyan kell értelmezni azt, hogy ez nem egy mérhető valami, hogyan jön ki ebből az, amit mindenki tud (aki tanult QMet, vagy csak hallott róla), hogy nincs értelme külön helyről és impulzusról beszélni, mert a kettő együttesen nem mérhető? Itt jön a nagy vargabetű.

Hogyan működik a klasszikus fizika? Ott a teret egy (véges dimenziós) vektortér írja le (a fenti axiómákból egyenesen következik, hogy a QM által használ Hilbert–tér – néhány speciális eset kivételével – nem véges dimenziós), ahol az egyes fizikai mennyiségeket egyszerűen a vektorok koordinátái határozzák meg. Az egyes koordinátatengelyek megválasztása elvileg tetszőleges is lehetne, de az a szokás (úgy van félépítve a klasszikus fizika), hogy három térdimenziót használ (egy ortonormált bázissal), egy idődimenziót, egy tömegdimenziót, egy töltésdimenziót stb, vagyis úgymond "teljesen ortonormált bázissal" dolgozik. (Amúgy az egy aranyos dolog, hogy ez nem feltétlen szükségszerű. Lehetne olyan leírást is gyártani, ahol mondjuk az előző hat mennyiségből úgy csinálnánk hat koordinátatengelyt, hogy mindegyik koordinátatengely tartalmaz mindegyik mennyiségből valamit, és ezek lineárkombinációi adnák ki a rendszer pontjait. Mókás lenne egy ilyet végigszámolni egyszer – bár nyilván teljesen felesleges és hülyeség...) A vicces az, hogy simán át lehet térni klasszikusan is a QM-es leírásra, és akkor máris kapnánk egy végtelen dimenziós Hilbert–térbeli leírást, ahol ugyanazok a dolgok működnének, mint a fent vázolt esetben, nyilván minden (fizikai mennyiséget leíró) operátornak folytonos lenne a spektruma, gyakorlatilag vissza lehetne kapni az egész klasszikus fizikát.

Mielőtt továbblépek, jön egy fontos kérdés: miről is szól a (klasszikus) fizika? Gyakorlatilag az egész célja a jóslás. Ez precíz értelemben azt jelenti, hogy ha elénk raknak egy rendszert, akkor két dolgot kell tennünk:

  1. Találnunk kell olyan valamiket (nevezzük paramétereknek), amelyek valahogyan kiszedhetők ebből a rendszerből (mondjuk méréssel). Fontos, hogy itt még csak annyit sem követelek meg, hogy ezek a paraméterek úgymond "leírják" a rendszert, pusztán csak azt, hogy a rendszerre "ránézve" meg lehessen őket valahogy határozni.
  2. Válaszolni kell tudnunk a következő két kérdésre:
    1. Mi ezeknek a paramétereknek a "földrajza", vagyis, milyen útvonalakat járhatnak be a paramétertérben ezek a paraméterek?
    2. Pontosan hány paraméterre van szükségünk ahhoz, hogy a fenti kérdésre egyértelmű választ tudjunk adni, és mik ezek a paraméterek?

Látszik, hogy a fenti két kritérium igencsak általánosan fogalmazza meg a fizika célját, és nem is egyértelműen. Például jellemezhetem a havat azzal, hogy "fehér", és amennyiben többre nem is vagyok kíváncsi (és nem várom meg, amíg elolvad, vagy összepiszkítják), akkor ez az egyetlen paraméter, ami szükséges, és meg is van a hó teljes fizikája (az én szemszögemből), ugyanis ez a paraméter sehogy nem változhat, így kész vagyok: megvannak a paraméterek, és megvannak a paramétertérbeli útvonalak (egyetlen pont, jelen esetben) is. Ha már kicsit továbbmegyek, akkor bevehetem az időt, és akkor már lehet olyat mondani, hogy idővel elszíneződik, így két paraméterem van, és a rendszer (kellően korlátozva, pl. még mindig nem olvadhat el) teljes, vagyis a fizika kész is van. Azonban nincs kész a fizika, ha két paramétert veszek, a hőmérsékletet és a "fehérséget", legalábbis abban az értelemben, hogy az olvadást még nem fogom tudni megmagyarázni. Kelleni fog az idő is, mint harmadik paraméter (az olvadás ugyanis időbeli folyamat).

A klasszikus mechanika a mozgásokkal foglalkozik, és azt találták, hogy a fenti értelemben vett szükséges és elégséges paraméterhalmaz nem más, mint a rendszerben levő részek koordinátái, impulzusai, valamint maga az idő.

Most vegyünk egy olyan kétdimenziós klasszikus fizikai rendszert, ami egy pozícióból (x) és a hozzá kanonikusan konjugált impulzusból (p) áll (az időt hagyjuk ki – megmutatható, hogy nagyon sok esetben a rendszer fejlődését ez a két paraméter is megfelelően le tudja írni). Hogyan is nézne ki QM formalizmusban ez a klasszikus rendszer? Klasszikusan külön paraméterként kezeljük a helyet és az impulzust. Nosza rajta, legyen Hx az a Hilbert–tér, ami az helykoordinátát írja le, Hp pedig az, ami az impulzusokat. Ekkor ha X a helyoperátor és P az impulzusoperátor, akkor a lehetséges helyeket a térben az X|x> = x|x> sajátérték–egyenlet gyökei határozzák meg, ahol |x> a Hx tér egy vektora (egyben X sajátvektora), és ugyanígy az impulzusokat P|p> = p|p> alapján tudhatjuk. Mivel a klasszikus leírásban a hely és az impulzus két független paraméter, ezért célszerűnek tűnik összeszorozni a két Hilbert–teret, és azon értelmezni a teljes rendszert (a klasszikus mechanika amúgy is ezt csinálja: ott az ábrázolás alapjául szolgáló vektortér nem más, mint az egyes paraméterekhez tartozó – többnyire egydimenziós – terek egyszerű direktszorzata). Ezek szerint ezzel a lépéssel a klasszikus leírással teljesen analóg módon járunk el. Az így értelmezett állapottér tehát H := Hx × Hp, és az ezen értelmezett állapotvektorok mindig felbonthatóak |x> × |p> alakú vektorokra (ahol |x> és |p> az eredeti Hilbert–terek vektorai). Ez utóbbi egy igen fontos megkötés, ugyanis a Hx × Hp tér teljes burkának vannak szép számmal olyan elemei, amiket nem lehet az előző alakban felírni (erről még később lesz szó). Ezek után a mérés azt jelenti, hogy elvégezzük az X × P operátor által meghatározott mérést a téren, ami ki fog adni egy sajátvektort és egy sajátállapotot, és készen is vagyunk. Ez eddig teljesen egyértelmű: P × X-ről nincs is értelme beszélni, ugyanis ez az operátor nem a H téren fog hatni. Ha a kvantumos leírással szinte teljesen analóg kifejezést akarunk, akkor az operátorokat is ki kell terjeszteni, mégpedig így: legyen Ix a Hx téren ható egységoperátor, míg Ip a Hp téren ható egységoperátor, ekkor az X és P operátorokat kiterjeszthetjük Xk := X × Ip és Pk := Ix × P alakban (a továbbiakban ezeket a kiterjesztett operátorokat fogom Xnek és Pnek jelölni). Ekkor már lehet olyanokat írni, hogy XP, meg olyat is, hogy PX, és a kettő teljesen ekvivalens lesz egymással (amint az várható is volt, hisz a klasszikus fizikában ezek független paraméterek). Mivel pedig a kettő ekvivalens, ezért teljesül, hogy XP = (XP)*, így XP önadjungált. Ez tehát azt jelenti, hogy XP (vagy PX, tökmindegy) egy értelmes fizikai mennyiséget ír le!

Mielőtt innen továbblépnék a mai nap utolsó lépéséhez, tennem kell egy másik kitérőt a kvantum–információelmélet világába (pontosabban, egy fogalmat el kell lopnom). A kvantum–információelméletben egy információegység (másnéven qubit) nem más, mint egy adott fizikai állapota egy rendszernek (többnyire a spint szokták használni, ami elektronok esetén tipikusan két diszkrét értéket vehet fel, és ezeket azonosítják a 0val és az 1gyel). A megfelelő állapotokat a |0> és az |1> vektorokkal szokták jelölni. Namármost, ha van két qubit, akkor a fentihez hasonlóan értelmezhetünk egy "közös állapotteret", ami a két qubit állapotterének a direktszorzata lesz. Ez egy négydimenziós tér (mivel az egy qubit tere két dimenziós, így a direktszorzat nyilván 2 × 2 = 4 dimenzió), és így nyilván négy bázisvektor szükséges. Az eredeti bázisok direktszorzatai alapján a következő négy vektort szokták bevezetni:

 |00> = |0> × |0>
 |01> = |0> × |1>
 |10> = |1> × |0>
 |11> = |1> × |1>

Most vegyünk egy példát! Legyen az első rendszerben az állapotvektorom |0>, míg a másodikban a |0> + |1> kvantumállapotban (a normálástól itt eltekintek). Ekkor a két állapot direktszorzata |0> × (|0> + |1>) = |00> + |01>. A vicc az, hogy a direktszorzat–térben vannak olyan kvantumállapotok, amiket nem lehet felírni, mint a két alaptér egy-egy vektorának a direktszorzata (pl. ilyen a |00> + |11> állapot). Ezeket összefonódott (másnéven Bell) állapotoknak hívják. Az ilyen állapotok tehát olyan állapotok, amelyek teljesen normális fizikai állapotoknak minősülnek a direktszorzat–térben, de a két 1qubites térben külön–külön nem lehet leírni őket, hiszen az egyik 1qubites térben észlelhető részt "befolyásolja" a másik térben mérhető 1qubites rész (szemléletesen szólva).

Hogy közelebb kerüljek az eredeti problémához, csinálok egy mérést egy ilyen összefonódott állapoton! Ehhez a vektoros leírásból áttérek sűrűségoperátoros leírásra. Egy adott |a> állapotot leíró sűrűségoperátort az |a><a| kifejezés definiál (itt <a| a már korábbról ismerős duális vektor). Ha véges dimenziós vektorokról van szó (jelen esetben azzal állunk szemben, hiszen az 1qubites rendszer kétdimenziós), akkor az operátort egy mátrix-szal is ábrázolhatjuk, mégpedig a következő módon: ha az |a> (oszlop)vektor elemei a1 és a2, akkor <a| = (a2*, a1*), így az ezek szorzatából képzett mátrix:

a1*a1 0
0 a2*a2

Általános esetben legyen egy M sűrűségmátrix négy eleme

m11 m12
m21 m22

Ha most A egy sűrűségmátrix az első qubit terében, míg B a második qubit terében egy sűrűségmátrix, akkor a direktszorzat–térben a közös állapotot leíró mátrix egy olyan blokkmátrix lesz, ami ezekből a mátrixokból képződik direktszorzással (A × B):

a11B a12B
a21B a22B

Nyilván ez nem ugyanaz, mint a B × A direktszorzat, azonban ez senkit ne zavarjon, a szorzás sorrendje egyértelmű, ugyanis követnie kell a terek összeszorzásának a sorrendjét. Namármost, ha a direktszorzat–térből veszek egy mátrixot, akkor ha nincs összefonódva, akkor felbontható két ilyen mátrix direktszorzatára, más esetben persze nem. Vegyük most az összefonódott |01> + |10> állapotot! Az állapotvektor duálisa (0, 1, 1, 0) (azért a duálist írom, mert könnyebb a folyó szövegbe sorvektorokat írni, mint oszlopvektorokat, de az oszlopvektor persze ugyanez, csak függőlegesen), vagyis a sűrűségmátrix:

0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0

Ezt fogom most "megmérni", vagyis megmondani, hogy az eredeti terek mely elemiből épül fel. Ezt pedig kétféleképp fogom elvégezni. Először úgy, hogy meghatározom az A mátrixot, majd a B-t, a második esetben előbb fogom megmondani B-t, utána pedig A-t.

Az A mátrix meghatározása (amennyiben tényleg felbontható két 1qubites állapot szorzatára) könnyű: az eggyel előző felírásból látszik, hogy ha veszem az egyes 2 × 2–es blokkok nyomait, akkor rendre az a11TrB, a12TrB, a21TrB és a22TrB számokat fogom kapni (Tr a nyomképzést jelöli), vagyis egy konstanstól eltekintve visszakaptam az A mátrix elemeit (ráadásul bizonyítható, hogy a kérdéses konstans pont egységnyi). Konkrétan, a bal felső és a jobb alsó elemek nyoma 1, míg a bal alsó és jobb felsőké 0, vagyis a11 = a22 = 1 és a12 = a21 = 0, vagyis A maga az identitás. Ekkor azonban mit kell látnunk? Ha most megpróbáljuk megmondani B-t, számos problémába ütközünk. Először is, ha A az identitás, akkor a bal alsó és a jobb felső blokkban a nullmátrix kellene, hogy álljon, és nem az áll. A diagonális blokkokban pedig mindkétszer B-nek kellene állnia, azonban az ott szereplő két mátrix nem egyezik meg. Ha jobban megnézzük, látjuk, hogy a diagonálisban szereplő két blokk nem más, mint a második qubit terén vett |0>, illetve |1> vektorokból alkotható két sűrűségmátrix, amit fizikailag úgy értelmezhetünk, hogy az A mérése után B értéke teljesen meghatározhatatlan (egyforma eséllyel mondhatjuk, hogy |0> vagy |1> állapotban van, mivel mindkét állapot mátrixa pontosan egyféleképpen jön ki).

Most megyek a másik úton. Ez kicsit rafináltabb, de azért megoldható. Ha először B-t akarnám meghatározni, akkor azt kell látni, hogy a blokkmátrixot kifejthetem a következő módon:

a11b11 a11b12 a12b11 a12b12
a11b21 a11b22 a12b21 a12b22
a21b11 a21b12 a22b11 a22b12
a21b21 a21b22 a22b21 a22b22

Ebben tehát pontosan egyszer szerepel az összes lehetséges kombinációja az A és a B együtthatóinak. Ezért egy kölcsönösen egyértelmű átalakítással átalakíthatom az eredeti mátrixomat úgy, hogy megkapjam B × A-t. Ez a konkrétan megadott mátrixra a következőt eredményezi:

0 0 0 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0

Ez alakra teljesen megegyezik az előző mátrixunkkal, így az eredmény is ugyanaz (csak a betűket kell felcserélni): B maga az identitás, A pedig teljesen meghatározhatatlan, sőt, egyforma valószínűséggel veszi fel az összes lehetséges értékét. Mielőtt továbbmegyek, két megjegyzést kell tennem: az egyik, hogy amikor a B × A szorzatot vettem, akkor csak egy matematikai trükköt alkalmaztam azért, hogy ki tudjam számolni, hogy mi lenne, ha úgymond a B állapotot határoznám meg előbb. Emögött a lépés mögött semmilyen fizika nincs! Itt már "elfelejtettem", hogy A és B eredetileg két operátor mátrixa volt, és csak a numerikus megoldás miatt cseréltem meg őket. Ha nem így lenne, akkor az egésznek értelme sem lenne, ugyanis B × A nem ugyanazon a Hilbert–téren működik, mint A × B, és mivel utóbbit definiáltuk a közös rendszerünk Hilbert–tereként, ezért a másik térről beszélni fizikailag nem értelmes! A másik megjegyzés pedig az, hogy elsőre nem lehet világos, hogy miért kellett ez az átcserélgetős módszer, hiszen ha úgyis tudom, hogy a végén B × A-t fogom kapni, akkor egyszerűbb lett volna azt felírni. A helyzet az, hogy (némi számolással ellenőrizhető) így nem B × A-t kaptam! Pontosan azért csináltam ezt a cserélgetős módszert, mert ez abban az esetben, ha az eredeti mátrix valóban két kisebbnek a direktszorzata volt, akkor valóban visszaadja B × A-t, de a cserélgetős módszer abban az esetben is működik, ha ez a feltétel nem teljesül! Ráadásul pontosan azt mutatja meg, hogy hogyan kellene kinéznie a B × A mátrixnak, ha az eredeti mátrixot fel lehetne írni A × B alakban, vagyis a módszer a deformáció vizsgálatára is alkalmas.

Ezután a kis kitérő után vissza lehet térni az XP problematikához. Amint láttuk, pont az a különbség a klasszikus fizika és a QM között, hogy az egyik esetben XP önadjungált, vagyis fizikai mennyiséget ír le, míg a másikban nem az (a felcserélési reláció szerint), így nem ír le fizikai mennyiséget. A fentiek alapján mondhatnánk azt, hogy a H = Hx × Hp állapottér elemei közül azok, amelyek felbonthatóak egy Hx-beli |x> és egy Hp-beli |p> állapotvektor szorzatára, azok klasszikusan viselkednek, míg azok, amelyek nem (vagyis, amelyek összefonódottak), azok kvantumosan. Ebből tehát le lehet vonni a következtetést, hogy kidobhatjuk a kukába a "hagyományos" elképzelésünket térről és impulzusról, és helyette egy olyan "összefonódott tér–impulzus" állapotteret kell elképzelni, ahol ezeknek a fogalmaknak külön–külön semmi értelmük sincs, csak az összefonódott tér–impulzus állapotoknak (ennek egy alterét képezik azok a szeparábilis állapotok, amelyeket a klasszikus fizika leír). Vagyis amikor a gimiben azt tanították nekünk annak idején, hogy "a kvantumfizikában nincs külön hullám meg részecske, csak a hullámrészecske", meg hasonlóakat, akkor igazából valami ilyesmire gondoltak magukban...

Utoljára módosította SAdam 2010.V.22 01:13-n; 6 hozzászólás;
PermaLink

Belépési kérelem

Anyai ágon nemes vagyok. Egyszerű felvidéki magyar nemes, a felmenőim még Mária Terézia uralkodása idején települtek Magyarországra, hogy benépesítsék és a munkájukkal felvirágoztassák azt, ami a törökök és a szabadságharc után még megmaradt ebből az országból. Anyai nagyapám tiszt volt a magyar hadseregben (nem a náci, hanem a magyar seregben) a II. világháborúban, a "felszabadulás" után 3 évig valahol a Szovjetúnióban teljesített munkaszolgálatot, egy bányában. Negyvenegynéhány kilogramm volt, amikor hazatért, és (ha jól tudom) pusztán annak köszönhette az életét, hogy tévedésből halottnak nézték. A család csak azért kerülte el a "kuláksorsot", mert őseim valamiért kivételesen jó viszonyban állhattak Fortuna istenasszonnyal, így még bőven a háború kezdete előtt sikerült túladniuk a teljes családi vagyonon – többnyire kártyapartik során. Ők voltak, ha úgy tetszik, a modern magyar történelem bölcsei, legalábbis a maguk módján.

Apai dédnagyapám a Tiszántúl egyik legnagyobb kamillatermelője volt, és saját patikát üzemeltetett. A családnak az az ága szintén a felvidékről származik, a "családi legendák" szerint a szépszüleim még inkább tótul beszélgettek egymással, mint magyarul. Dédnagyapám patikája egyébként a mai napig működik valamelyik tiszántúli községben, ha jól tudom, de persze az államosítás után – az akkori rendelet értelmében – nem dolgozhatott tovább a saját néhai gyógyszertárában – amit egyébként teljesen feltöltve és felszerelve adott át az Államnak, mert (szintén a családi történetek szerint) nem bírta volna elviselni azt a szégyent, hogy az ő patikája üres legyen, amikor államosítják.

Apai nagymamám sváb. Talán ő, talán még az ő szülei magyarosították a nevüket Uitz-ról Újlakira. Ők is azok közé a csepeli svábok közé tartoztak, akik még szintén Mária Terézia alatt lettek betelepítve Csepelre. Ráadásul nem elég, hogy szegénykém sváb volt, de ráadásul egyházi benlakásos iskolában tanult. Így teljesen egyértelmű, hogy miért nem vették fel soha az egyetemi tanítóképzőre, és munkát is csak nagy nehezen kapott. Azt a XX. kerületi panelt, ahol él, valamikor a nyolcvanas évek elején engedték nekik megvenni (addig egy földszintes kertesházban laktak az ő szüleivel, valamint apámmal és nagybátyámmal együtt, Csepelen), több, mint 20 év listás várakozás után. Ez már azután történt, hogy apám átköltözött anyámékhoz. Több, mint 50 éves volt már.

A kalapom egy arab boltból származik, a Keleti pályaudvartól nem messze. Többek egybehangzó állítása alapján úgy tudom, hogy elsősorban Közép-ázsiában, illetve Tibetben viselnek ilyen kalapokat. Neve tübetejka, vagy csubacseka, vagy hasonló, attól függően, hogy ki hogy mondja, vagy ejti. Egyes emberek azt állították, hogy ők Tibetben olyan variánst láttak inkább, ami nem kerek, hanem négyszögletes. Lelkük rajta.

Ha valaki az utcán – akár eltakart arccal, akár anélkül – megkérdezi tőlem, hogy zsidó vagyok-e, lesütöm a szemem, és szégyenkezve bevallom neki, hogy nem vagyok az. Ha véletlenül ismételten megkérdezi, akkor sem tudok sajnos mást válaszolni, mint a fájó és szomorú igazságot – hogy tényleg nem vagyok az. Röstellem, de – ahogy azt mindenki láthatja a fentiekből – sajnos senki sincs a felmenőim között, akiről akár csak feltételezhetném, hogy zsidó lett volna. Pedig valljuk be, szívesen lennék egy olyan prominens társaság tagja, akik maguk között tudhatják Wigner Jenőt, Neumann Jánost, Radnóti Miklóst, Rejtő Jenőt vagy akár Kurtág Györgyöt. De ez nekem sajnos nem adatott meg. Nem tudok mit csinálni. Nem vagyok zsidó. Még a kalapom sem az.

Ha ezek után megütnek, szidalmaznak és elveszik a kalapomat, azt igazán nem tudom mire vélni. Azt sem, ha folyamatosan zsidónak szólítanak (pedig hát értsék meg, kérem, hogy sajnos nem vagyok az, akármennyit is rúgnak belém), és megpróbálnak eltiltani a kalapom összeszedésétől. Utóbbit, úgy látszik, még azért gyakorolni kell. A kalap megvan. Én is.

Ezúton kérvényezem, hogy mától kezdve mindenki tekintsen engem tiszteletbeli zsidónak.

Tagek:
 
Utoljára módosította SAdam 2008.II.24 02:30-n; 2 hozzászólás;
PermaLink
100%

2008-02-22

Ma, ahogy jöttem haza a villamoson, hallottam, ahogy egy – legalábbis ránézésre – velem közel egykorú srác nagyban magyaráz valamit a (feltehetőleg) barátnőjének arról, hogy az egyik ismerőse – valami DJ, ha jól értettem a beszélgetést – mekkora király (pontosabban, Király, vagy még inkább: KIRÁLY...) Azt már pontosan nem tudnám megmondani, hogy miért, és hogyan, de ennek kapcsán (ismételten) rájöttem, hogy mekkora ellentmondás van néha az elméleti és a gyakorlati megközelítések között.

Az elmélet – legalábbis a mai értelemben – nem más, mint a világban tapasztalható jelenségek egy részének egy adott határon belüli koherens leírása (itt most vegyük úgy, hogy létezik a világ, abban lejátszódnak jelenségek és ezeket mi adott hibahatáron belül helyesen érzékelni is tudjuk, vagyis zárjuk ki az az a lámpa igazából az apukám jellegű gondolatmeneteket). Nyilván a modern elméletek a modellalkotással kezdődnek: ez az a lépés, ahol az általunk vizsgált jelenségkört körülírjuk, egyfelől kizárjuk azokat a jelenségeket, amelyek nem tartoznak bele az elmélet által vizsgált jelenségkörbe, másfelől a vizsgált jelenségek (valószínűleg megszámlálhatatlanul) végtelen számosságú attribútumából kiválasztjuk azt a néhányat, amiről úgy érezzük, hogy a vizsgált jelenségkör leírásához első megközelítésben elegendőek. Ezt követi, hogy a modellünk vizsgálatával szabályokat alkotunk, ezek alapján jóslatokat teszünk a jövőre nézve, és jóslatainkat összevetjük a valóságban tapasztalható jelenségekkel. Nyilván ezt követi a modell finomítása (vagy ha nem jó az egyezés, akkor a modell elvetése), és ez így megy tovább, egy végtelen folyamatban; gyakorlatilag erről szól a tudománytörténet. Ami azonban az én érdeklődésemet most felkeltette, az pusztán csak egy triviális apróság, amit úgyis mindenki tud, de a mindennapokban mégis elkerüli a figyelmet: a leszűkítés és a kizárás folyamata. Nyilván minél kevesebb paramétert hagyunk figyelmen kívül, annál nagyobb egyezés várható a valóságban megfigyeltekkel. Ezzel csak az a probléma, hogy ha kezelhető elméletet akarunk (és azt akarunk, mert különben minek csinálnánk az egészet?), akkor a paraméterek minimalizálását kell megcélozni. És ez bizony keményen ellentmondás! Ezen kívül nem szabad elfelejteni, hogy a vizsgált jelenségkör "mérete" és a releváns paraméterek száma valamilyen módon összefügg, legalábbis úgy, hogy azonos pontosságigény mellett minél tágabb jelenségkört vizsgálunk, annál több paraméterre van szükség. Más szóval: ha elvárunk az elmélettől egy adott pontosságot, akkor a kézben tartható paraméterek maximális számának megadásával egyszersmind a vizsgált jelenségkör maximális lehetséges méretét is korlátoztuk. És hogy ez mit jelent? Azt, hogy bizony az elmélet, akármennyire hasznos is, de korlátolttá teszi azt, aki alkalmazza.

Eddig általánosságban volt szó "elméletről", most azonban igyekszem kettészedni ezt a fogalmat, hogy a fenti állítást – illetve annak a következményeit – pontosabban is értelmezni lehessen. (Itt egy megjegyzés: igazából három részre kéne szednem, mivel az alább tárgyalt két típuson kívül van egy harmadik típus is, a "tiszta elmélet", vagyis a matematika, vagy filozófia – igazából elnevezés kérdése, hogy minek hívom azt, ami igazából egy és ugyanaz. Ezzel azért nem foglalkozom többet, mert a tiszta elmélet a jellegéből fakadóan nem úgy működik, mint amit fentebb vázoltam. A tiszta elmélet számára nincs külső valóság, amit le kéne bárhogyan is írni, így modell sincs, legalábbis olyan értelemben, ahogy fent bevezettem. A tiszta elmélet saját maga számára alkot meg egy ideális világot, és ennek törvényeit vizsgálja. Így, mivel a saját maga alkotta világban mozog, az itt felvetett kérdéseket egyszerűen nem lehet alkalmazni rá, így nem is kell ezekkel többet foglalkoznom most.)

A természettudományos – leginkább a fizika témakörébe eső – elméleteknél általában a korlátozás nagyon jól működik. Ezt nyilván elméleti megfontolásokkal lehetetlen lenne alátámasztani, de a gyakorlat mégis ezt mutatja, mégpedig eléggé meggyőzően. Ugyanis már az olyan primitív absztrakciók is, mint a tömegpont, nagy pontossággal képesek a valódi világ jelenségeinek egész halmazát leírhatóvá tenni. Amikor az ember a fizikát tanulja, valahogy automatikusan az az érzése, hogy a fizikai modellekben a ténylegesen megfigyelt néhány paraméter olyan pontossággal képes visszaadni a valóságban lejátszódó eseményeket, hogy nem is merül fel benne, hogy esetleg egy modell kereteibe zárta volna be saját magát. És nem tudok róla, hogy bárki valaha is érzett volna olyasmit, hogy a fizikai elméletek "korlátozzák" őt abban, hogy valódi fizikát csináljon. Ebből pedig arra lehet (elég erősen) gyanakodni, hogy ha megadom az általam elvárt pontosságot az elmélettel szemben, illetve az általam kezelhető paraméterek maximális számát, akkor a jelenségek egy olyan tág körét kapom (mint az általam vizsgálható jelenségek körének maximális halmaza), ami amúgy is túlmutat azon a jelenségkörön, amit a fizikusok valaha is vizsgálnának. Alapvetően ezért mondhatom azt, hogy bízok a fizikai elméletekben, illetve, hogy van értelme az egésznek, sőt, hogy igazából aki fizikát akar csinálni, annak az elméleteken keresztül vezet az egyetlen járható út.

Egészen más a helyzet a nem-természettudományos, "humán" jellegű jelenségek elméletei körül, legyen szó akár nyelvészetről, történészetről, vagy művészet-elméletről. Mielőtt még tovább mennék, már itt ki kell emelnem egy alapvető eltérést: az ilyen elméleteknek nem az az elsődleges célja, hogy segítségükkel jósolni lehessen, hanem az, hogy a már létező dolgok működését felfogjuk, illetve az adott ágon belüli működésünket segítsék. Azonban, mivel olyasmi dolgokat írnak le, amelynek mozgatórugója a személyes szabadsággal felruházott ember, ezért ezek a tudományok jóslásra alkalmatlanok (hogy egy egyszerű példát hozzak, a nyelvtani szabályok puszta léte még nem garantálja, hogy valóban helyesen fogok írni, még akkor sem, ha amúgy többé-kevésbé tisztában vagyok ezekkel a szabályokkal). Miről van tehát szó? A természettudományos esettel ellentétben itt a releváns paraméterek száma nem csökkenthető olyan drasztikusan, gyakorlatilag szinte végtelen sok releváns paraméterünk van, ráadásul – a fizikai világgal ellentétben – ezekre a paraméterekre sokkal nehezebb valamilyen használható statisztikai leírást találni, már feltéve, hogy ez egyáltalán lehetséges. Ez pedig azt jelenti (az előzőek tükrében), hogy kompromisszumra kényszerülünk: ha tágabb jelenségkört akarunk leírni, kezelhető számú paraméterrel, akkor az elmélet nagyon pontatlan lesz (erre egyszerű példa lehet a különböző, amúgy elméleti szempontból teljesen indokolatlan kivételek tömeges megléte a nyelvtanokban); ha pedig viszonylag pontos elméletet akarunk kapni, szintén kezelhető paramétertéren (vegyük észre, hogy mivel az elméletet magunk számára gyártjuk, ezért kénytelenek vagyunk mindenképpen emberi léptékkel mérve kezelhető számú paraméterrel dolgozni, különben az elméletet nem fogjuk tudni használni), akkor az általunk leírt jelenségkör szükségszerűen nagyon szűk lesz (példának okáért ilyen elmélet a vokális ellenpont elmélete, ami egy teljesen axiomatikus fejezete a zeneelméletnek, viszont csak egy nagyon specifikus részhalmazát írja le a teljes zeneirodalomnak). Mindez azt jelenti, hogy a nem-természettudományos elméleti leírásokon igenis észlelhető az a korlátosság, amiről az első bekezdésben írtam, mégpedig igen zavaró mértékben: a korlátoltság azt jelenti ebben az esetben, hogy egy adott területet sosem lehetséges egyetlen átfogó elmélettel leírni, illetve, hogy az egyes elméletek valóban ki kell, hogy zárjanak egy sor olyan jelenséget, amelyek amúgy az adott területhez tartoznának. Számomra ezt meggyőző módon bizonyítja az a temérdek parttalan vita, ami ezeken a tudományterületeken mindig is zajlott és zajlik, és ami tulajdonképpen arról szól, hogy két eltérő ízlésű ember két különböző elmélettel felvértezve támadja egymást. Aminek nyilván nem sok értelme van (erről egyszer már írtam bővebben).

Ha az előbbi problémát leszűkítem a művészetre, ezen belül is a zenére, akkor azt kell mondanom, hogy igenis van valamiféle ellentmondás, vagy legalábbis "ellenérdek" az elmélet és a gyakorlat között. Mert aki túlságosan is elméletekben él, az a fentiek szerint korlátolttá teszi saját magát, ami a művészetben akár végzetes is lehet (bár a legnagyobbként számontartott zeneszerzők mindegyike valamilyen jól körülhatárolható elméleten belül mozgott mindig is). Így az ember azt gondolhatná, hogy a leghatékonyabb módszer a művészi szabadság megőrzésére a szabályok eldobása, illetve figyelmen kívül hagyása, a tiszta kísérletezés. Persze könnyű látni, hogy ez sem igaz: igazán csak az tud felrúgni egy elméletet, aki pontosan ismeri is azt. Ennélkül simán megtörténhet, hogy az ember egész élete során "egy helyben tapogatódzik", egy olyan helyen, amit amúgy valamilyen elmélet segítségével már ezer éve mindenki megtanult és az unalomig szajkózott. (Mielőtt még valaki azt gondolná, hogy ez az egész kifejezetten zene-specifikus, megnyugtatom, hogy bármi más elmélettel is el lehet ugyanezt játszani. Példának okáért a nyelvtani szabályok szembenállása az új szókapcsolatok kreálásával hasonló dilemmát vet fel: az, hogy "többszólamú csengőhang", nem hangzik annyira vagányul, mint ugyanennek a szókapcsolatnak az angol megfelelője, így a helyes fordításhoz akár ki lehetne találni egy új szót is. Azonban aki nem ismeri a nyelvtant, illetve nem elég jó a szókincse, az a fenti kifejezést simán "polifónikus csengőhangnak" fogja fordítani, ami a létező hasonló kifejezés – többszólamú, vagyis polifon csengőhang – miatt eléggé szánalmasan hangzik. De lehetne akármilyen más példát is találni.) A másik, amit nem lehet figyelmen kívül hagyni, hogy bizonyos méretnél nagyobb műhöz (itt méret alapján egy nem túl jól definiálható fogalmat értek, ami valahogy a mű komplexségét méri) muszáj felhasználni az elméletet, mert ennélkül egy ember élete kevés lenne ahhoz, hogy a puszta kísérletezgetés alapján a nullából összerakja valaki. Viszont való igaz, hogy a pusztán elméletekből előálló művészet kivétel nélkül unalmas és érdektelen.

Akárhogy is van, azt a vak is látja, hogy nehéz jó megoldást találni, már csak azért is, mert sok közel egyenrangú megoldás létezik az elmélet és a gyakorlat vegyítésére, és ami fontos, ezek közül egyik sem igazán jó megoldás (legalábbis abban az értelemben, hogy mint kizárólagos jó megoldás, a többit háttérbe szoríthassa). Nyilván aki inkább gyakorlati irányba megy, annak a maga módján sokkal eredetibb és természetesebb – és talán érdekesebb is – lesz a művészete, míg aki inkább elméletre adja a fejét, az nagyobb szabású dolgokat is képes lesz úgy megkonstruálni, hogy a dolog közben koherens maradjon és talán (ha másért nem, a méretből és a koherenciából adódóan) szép is legyen. Vagy fene tudja...

Tagek:
 
Utoljára módosította SAdam 2008.II.22 15:38-n; 0 hozzászólás;
PermaLink

2008-02-14

Ma megint eltöltöttem egy kis időt (nagyjából 6 órát) egy kis "zajongással". Konkrétan, az egész onnan indult, hogy találtam egy olyan példát, ahol úgy próbáltak meg sávkorlátozott fehér zajt csinálni, hogy egy konstans frekvenciájú szinuszhullámot összeszoroztak egy szintén konstans frekvenciájú, de "véletlen amplitúdójú" jelgenerátorral (ez a bizonyos "véletlen amplitúdójú generátor" azt jelenti, hogy szabályos időközönként generál egy új pontot -1 és 1 között, és az új, valamint a legutóbbi generált pontok között interpolál a generátor). Azt állították nekem, hogy ami így kijön, az egy olyan sávkorlátos fehér zaj lesz, aminek a sávközepe a szinuszgenerátor frekvenciája, a sávszélessége pedig a véletlen jel frekvenciája lesz. Hogy őszinte legyek, nem teljesen értem, hogy ez miért lesz pont így, de leellenőriztem, és valóban olyasmi jel jön ki ebből, mint ami az általam megszokott sávkorlátos fehér zaj. Azaz, hogy nem pontosan. Ha az ember figyelmesen hallgatja (mondjuk 10 percet, vagy többet, nyilván hosszabb–rövidebb megszakításokkal), akkor rájön, hogy amit így kap, az mintha "pattogna", de legalábbis egy jellegzetes recsegést lehet felfedezni a rendes jel mellett. Tipikusan olyasmit, mint amikor egy bármilyen közönséges DSP rendszert (mondjuk az otthoni CD-lejátszót) valaki finoman túlvezérli. Egy ideig azt hittem, hogy a hangfallal nem stimmel valami, de aztán megfejtettem, hogy a probléma az előző rendszerbeli interpolációnál van. Egy lineáris interpolációnál ugyanis már első rendben sem lesznek simák az illesztések, és végső soron ez vezet a pattogáshoz. Ezt kivédendő, implementáltam egy olyan verziót a véletlen generátorból, ahol nem szakaszokkal kötöm össze a véletlen pontokat, hanem szinuszgörbékkel (ezek ugyanis első rendben is simán illeszkednek, legalábbis akkor, ha a szinusz-szakasz, amit az interpoláláshoz használok, olyan alakú, mint a –pi/2 és pi/2 között a szinusz). Valóban, ebben a verzióban tényleg eltűnik az idegesítő kattogás.

Már csak két dolog marad ezzel:

  1. Még mindig nem értem, hogy ez a módszer miért ad sávkorlátos fehér zajt. Ezt két okból is jó lenne érteni, egyrészt azért, hogy biztos lehessek benne, hogy amit így kapok, az tényleg fehér zaj, és nem valami más, másrészt azért, mert hátha kis módosításokkal el tudnék érni a fehér zajtól eltérő zajokat is úgy, hogy közben az egész folyamatot kontroll alatt tarthassam.
  2. Rájönni, hogy ezt pontosan hol is fogom tudni felhasználni.
Tagek:
 
Utoljára módosította SAdam 2008.II.14 02:24-n; 0 hozzászólás;
PermaLink