Van itt valami, ami egyrészt nem hagy nyugodni, másrészt erősen gátol egy vizsgára készülésben, pedig valószínűleg egyszerű lehet a megoldás. Az alapprobléma a következő: legyen f(x) egy konstans függvény (mondjuk f(x) := (1–x)(1+x) + x2, ami mindig 1). Legyen tehát f(x) := c, ahol c konstans. Ekkor

c(dc/dx) = d(c2)/dx = 2c(dc/dx),

vagyis 2c = c, ha a deriválttal leoszthatunk. Ugye elsőre az ember megnyugszik, mert konstans deriváltja mindig nulla, ezért nem oszthatunk le vele, és nem lesz 2 = 1.

De mi van akkor, ha a konstans deriváltja mégsem nulla? (Például mert a konstansban szereplő függvény egy kvadratikus forma: c = XiXi valamilyen X vektorral, és a deriváltat mondjuk az Xi vektorkomponens szerint képezzük...)

A jelölésről még annyit, hogy a XiXi a skaláris szorzatot jelenti, de nem az euklideszi metrika, hanem Minkowski metrika szerint – vagyis XiXi = X02 – (X12 + X22 + X32 + ...)

Légyszi, ha valakinek van bármi ötlete, ne tartsa magában! Nem egy olyan nehéz dolog (elvileg), a fogalmak, amiket használok, mind benne vannak a gimis matekanyagban (direkt nem írtam le, hogy konkrétan mihez, kell, hogy ne zavarjak össze vele senkit), szóval légyszi, akinek van egy kis szabad ideje és agykapacitása, az segítsen rendbetenni ezt az apró anomáliát... Lehetőleg még hétfő előtt...

Köszi!!!

Utoljára módosította SAdam 2009.I.21 21:54-n
PermaLink

Hozzászólások (12)

SAdam hozzászólása 2009-01-21 21:07-kor

Magyarázatképpen a skalárszoratos dologhoz, ha mondjuk a szóban forgó vektor X := (X<sub>0</sub>, X<sub>1</sub>), és az egyes komponensek X<sub>0</sub> = sqrt{c<sup>2</sup>+f<sup>2</sup>} és X<sub>1</sub> = f, ahol c konstans, f tetszőleges kifejezés, akkor a fent emlegetett skaláris szorzat:

X<sup>i</sup>X<sub>i</sub> = (c<sup>2</sup>+f<sup>2</sup>) – f<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>,

ami tényleg konstans, másfelől nyilván lehet olyan f függvényt választani, hogy ennek a skalárszorzatnak a deriváltja mondjuk az X<sub>1</sub> vektorkomponens szerint mégse legyen nulla...


Descant hozzászólása 2009-01-22 16:42-kor

c(dc/dx) integrálja nem d(c^2)/dx hanem d(c^2/2)/dx ! egyes! Tovább nem is olvasom mert holnap nyelvvizsgázom


SAdam hozzászólása 2009-01-22 23:10-kor

Jaja, de ha c konstans, akkor kivihető az integrál elé, vagyis c(df/dx) = d(cf)/dx. Ha ezt f = c'' esetére alkalmazod...


SAdam hozzászólása 2009-01-22 23:11-kor

Vazz, elizéltem a wikiformázást... Ja, és nem az "integrál elé", hanem a "derivál elé". Késő van...


Descant hozzászólása 2009-01-22 23:24-kor

de ahogy te is mondtad akkor meg c konstans és akkor a dc/dx = 0.


Descant hozzászólása 2009-01-22 23:26-kor

Ezek az elmfizesek nagyon hülyék


SAdam hozzászólása 2009-01-23 01:16-kor

OK, akkor felteszem konkrétabban a kérdést.

Ugye szabad tömegpont relativisztikus Lagrange-függvénye L = mc<sup>2</sup>dτ (ha sajátidővel írom fel), illetve L = mcds, ha az invariáns úthossz-négyzet gyökével (az előjelet most elhagytam). Namármost a négyessebesség négyzete a fénysebesség: u<sup>i</sup>u<sub>i</sub> = c<sup>2</sup>, vagyis a Lagrange-függvényt átírhatom L = mu<sup>i</sup>u<sub>i</sub>dτ, illetve L = mSQRT{u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>}ds alakba. Ha most felhasználom, hogy definíció szerint ds = cdτ, akkor a második alakból L = mSQRT{u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>}cdτ következik (ez amúgy a sajátidős verzióból is egyből jön, ha az ott szereplő c<sup>2</sup>-et átírom cc-re, és csak az egyik c-t fejezem ki a négyessebességgel). Ha ezek után deriválást hajtok végre u<sup>i</sup> szerint, akkor az első alakból az jön ki, hogy (dL/du<sup>i</sup>) = 2mu<sub>i</sub>, a másodikból pedig az, hogy mu<sub>i</sub>.

Az egész azért érdekel, mert ugye klasszikusan így definiáljuk az impulzust, és szeretném látni, hogy ha relativisztikusan ugyanezt végigcsinálom, akkor hogyan jön ki a négyesimpulzus? Na most azt látom, hogy ha az L = mcSQRT{u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>}dτ alakot írom, akkor abból valóban a p<sub>i</sub> = mu<sub>i</sub> alak jön ki, de ha a L = mu<sup>i</sup>u<sub>i</sub>dτ alakból indulok, akkor a hibás p<sub>i</sub> = 2mu<sub>i</sub> eredményre jutok.

Igazából csak meg akarom érteni, hogy miért nem írhatom fel a Lagrange-függvényt L = mu<sup>i</sup>u<sub>i</sub>dτ alakban, ha egyszer SQRT{u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>} = c?...


SAdam hozzászólása 2009-01-23 01:41-kor

Ja, és mielőtt bárki kötözködne, hogy a kutya biztos ott van elásva, hogy a skalárszorzatban ko- és kontravariáns komponensek szerepelnek, miközben én csak a kontravariáns komponensek szerint deriválok, hát itt a két deriválás, részletesen:

d(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>)/du<sup>i</sup> = (du<sup>i</sup>/du<sup>i</sup>)u<sub>i</sub> + u<sup>i</sup>(du<sub>i</sub>/du<sup>i</sup>) = u<sub>i</sub> + u<sup>i</sup>(d(g<sub>ik</sub>g<sup>ik</sup>u<sub>i</sub>)/du<sup>i</sup>) = u<sub>i</sub> + u<sup>i</sup>g<sub>ik</sub>(du<sup>k</sup>/du<sup>i</sup>) = u<sub>i</sub> + u<sub>k</sub>δ<sup>ik</sup> = u<sub>i</sub> + u<sub>i</sub> = 2u<sub>i</sub>

és

d(√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>))/du<sup>i</sup> = 1/(2√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>))*(d(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>)/du<sup>i</sup>) = 2u<sub>i</sub>/(2√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>)) = u<sub>i</sub>/(√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>))''

Az elsőnél azt használtam ki, hogy a metrikus tenzor (g<sup>ik</sup>) négyzete az egység, vagyis bárhova beszúrhatom, illetve mivel maga a metrikus tenzor konstans, ezért bármikor kivihetem a deriválásból. A másodiknál pedig a deriválás láncszabályát, illetve a láncszabály után egyszerűen behelyettesítettem az első sorból a végeredményt.

Ha még azt is felhasználom, hogy u<sup>i</sup>u<sub>i</sub> = c<sup>2</sup> (illetve ennek az egyenlőségnek a gyökét is), akkor

d(c<sup>2</sup>)/du<sup>i</sup> = d(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>)/du<sup>i</sup> = 2u<sub>i</sub>

és

d(c<sup>2</sup>)/du<sup>i</sup> = cdc/du<sup>i</sup> = cd(√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>))/du<sup>i</sup> = cu<sub>i</sub>/(√(u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>)) = cu<sub>i</sub>/c = u<sub>i</sub>

Szóval látszik, hogy nem ko- és kontravariáns számolás okozza a problémát, valami mástól paradox ez az egész. Csak nem látom még mindig, hogy hol rontom el... (Miközben nyilvánvaló, hogy a végeredmény baromság, nyilván nem lehet igaz, tehát szükségszerűen valahol elrontom, csak nem látom, hogy hol...)


SAdam hozzászólása 2009-01-23 01:42-kor

Mennyivel szebb lenne az élet, ha az ApocalypseWiki támogatná a képletek szerkesztését, de legalábbis a törtvonalat és a gyököt... :-)


SAdam hozzászólása 2009-01-23 01:45-kor

Wazz, a második sorban már megint elszámoltam a dőlt betűket... Szóval a végén levő két vessző itt sem deriválást jelent, mint a másik wiki-elk*rt posztomban, hanem csak egy bentragadt formázási parancsot... GRRRR... :-(


SAdam hozzászólása 2009-01-23 12:25-kor

Közeleg a megvilágosodás.

Ismét a gimisek számára is érthető nyelvezet jön: Ugyebár derékszögű koordináta-rendszerben (ahol e<sub>x</sub> és e<sub>y</sub> az x és y irányú egységvektorok) tetszőleges vektor kifejezhető r = xe<sub>x</sub> + ye<sub>y</sub> alakban. Ekkor a vektor hossza: |r| = √{x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>}, illetve hossz-négyzete: r<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>. Ezek szerint a hossznak a deriváltja mondjuk az x koordináta szerint

d|r|/dx = 1/(2√{x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>})*2x = x/|r|

a hossz négyzetének a deriváltja (szintén x szerint) pedig

d(r<sup>2</sup>)/dx = 2x

Namármost: mi van akkor, ha történetesen r egy egységvektor? Ekkor nyilván |r| = r<sup>2</sup> = 1, vagyis megintcsak sikerült egy olyan esetet találnom, amikor egy konstans deriváltja különböző értékeket ad.

Na és most jön a megfejtés: azért voltam ellentmondásban, mert maga az r helyvektor így, ahogy felírtam, nem konstans. Ez az egész, amit eddig csináltam szinte majdnem olyan, mint ha vettem volna bármilyen két függvényt, ezeket lederiválom, majd csodálkozva megállapítom, hogy egy olyan pontban, ahol a két függvény értéke megegyezik, a deriváltjai mégis eltérnek. Na bumm...

Szóval lényeg az, hogy semmi ellentmondás nincs, mert attól még, hogy az |r|(x) és az r<sup>2</sup>(x) függvények egy adott pontban megegyeznek, attól még a deriváltjaik lehetnek eltérőek.

Az eredeti (a tételhez kapcsolódó) problémám persze még mindig nincs ezzel megoldva, de most már legalább értem, hogy merre kell tovább keresnem a megoldást: rá kell jönnöm, hogy egy bizonyos fizikai definícióban (nevezzük Lagrange függvénynek) miért egy bizonyos vektor (konkrétan a sebességvektor) hossza szerepel, és miért nem a hosszának a négyzete? Vagyis nem a deriválást nem értem, hanem, hogy miért egy bizonyos függvényt deriválunk, és miért nem egy másikat?

Na, innen már nem középiskolás fokon...

Szóval ez azért gáz (Descant, asszem itt már csak rád számíthatok), mert klasszikusan a Lagrange-ban v<sup>2</sup> szerepel. Viszont az egyik előző postból nyilvánvaló, hogy a relativisztikus Lagrange-ban nem szerepelhet u<sup>i</sup>u<sub>i</sub>, mert akkor a szokásos kanonikus definícióval a négyesimpulzusra 2mu<sub>i</sub> adódna, vagyis relativisztikusan u<sup>i</sup>u<sub>i</sub> gyöke kell, hogy szerepeljen (vagy lehetne a tömeg helyett a tömeg felét beírni, mint klasszikusan, de abból meg E = mc<sup>2</sup>/2 jönne ki E = mc<sup>2</sup> helyett).

Van erre valami épkézláb fizikai magyarázat, hogy itt miért a négyessebesség hossza kell a hossz-négyzet helyett, vagy törődjek bele, hogy azért így van definiálva, hogy kijöjjenek klasszikus limeszben a jól megszokott képletek, és kész? Mondjuk biztos vagyok benne, hogy valahogy csak meg lehet magyarázni annélkül is, hogy a klasszikus limeszbeli érvényességre kelljen alapozni a dolgot, de változatlanul nem bírok rájönni.


SAdam hozzászólása 2010-05-22 00:54-kor

Hű, na erre (mármint az utolsó komment utolsó bekezdésére) azóta sem sikerült rájönnöm. Igaz, nem is gondolkodtam nagyon azóta a problémán...